3.1653 \(\int \frac{b+2 c x}{\sqrt{d+e x} (a+b x+c x^2)^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=665 \[ \frac{2 \sqrt{2} e \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} (2 c d-b e) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}} \text{EllipticF}\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{b^2-4 a c}+b+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right ),-\frac{2 e \sqrt{b^2-4 a c}}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}\right )}{3 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )}-\frac{2 e \sqrt{d+e x} \left (-2 c x \left (-c e (3 a e+b d)+b^2 e^2+c^2 d^2\right )-b c \left (c d^2-7 a e^2\right )-8 a c^2 d e+3 b^2 c d e-2 b^3 e^2\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )^2}-\frac{2 \sqrt{2} e \sqrt{d+e x} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} \left (-c e (3 a e+b d)+b^2 e^2+c^2 d^2\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+2 c x+\sqrt{b^2-4 a c}}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )^2 \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}}}-\frac{2 \sqrt{d+e x} \left (\left (b^2-4 a c\right ) (c d-b e)-c e x \left (b^2-4 a c\right )\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )} \]

[Out]

(-2*Sqrt[d + e*x]*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*
(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (2*e*Sqrt[d + e*x]*(3*b^2*c*d*e - 8*a*c^2*d*e - 2*b^3*e^2 - b*c*(c*d^2 - 7*a*e^2) -
2*c*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[a + b*x + c*x
^2]) - (2*Sqrt[2]*e*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 -
4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 - 4*a
*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)])/(3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[(c*(d + e*x))
/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (2*Sqrt[2]*e*(2*c*d - b*e)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(
2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sq
rt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]
)*e)])/(3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.587541, antiderivative size = 665, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 5, integrand size = 30, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.167, Rules used = {822, 843, 718, 424, 419} \[ -\frac{2 e \sqrt{d+e x} \left (-2 c x \left (-c e (3 a e+b d)+b^2 e^2+c^2 d^2\right )-b c \left (c d^2-7 a e^2\right )-8 a c^2 d e+3 b^2 c d e-2 b^3 e^2\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )^2}-\frac{2 \sqrt{2} e \sqrt{d+e x} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} \left (-c e (3 a e+b d)+b^2 e^2+c^2 d^2\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+2 c x+\sqrt{b^2-4 a c}}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )^2 \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}}}-\frac{2 \sqrt{d+e x} \left (\left (b^2-4 a c\right ) (c d-b e)-c e x \left (b^2-4 a c\right )\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )}+\frac{2 \sqrt{2} e \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} (2 c d-b e) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-e \left (\sqrt{b^2-4 a c}+b\right )}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+2 c x+\sqrt{b^2-4 a c}}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 \sqrt{b^2-4 a c} \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(b + 2*c*x)/(Sqrt[d + e*x]*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)),x]

[Out]

(-2*Sqrt[d + e*x]*((b^2 - 4*a*c)*(c*d - b*e) - c*(b^2 - 4*a*c)*e*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*
(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (2*e*Sqrt[d + e*x]*(3*b^2*c*d*e - 8*a*c^2*d*e - 2*b^3*e^2 - b*c*(c*d^2 - 7*a*e^2) -
2*c*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[a + b*x + c*x
^2]) - (2*Sqrt[2]*e*(c^2*d^2 + b^2*e^2 - c*e*(b*d + 3*a*e))*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 -
4*a*c))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 - 4*a
*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)])/(3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*Sqrt[(c*(d + e*x))
/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (2*Sqrt[2]*e*(2*c*d - b*e)*Sqrt[(c*(d + e*x))/(
2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)]*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sq
rt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]]/Sqrt[2]], (-2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e)/(2*c*d - (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]
)*e)])/(3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])

Rule 822

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
[((d + e*x)^(m + 1)*(f*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) - a*g*(2*c*d - b*e) + c*(f*(2*c*d - b*e) - g*(b*d - 2*a*e))*x
)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] + Dist[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*
c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*Simp[f*(b*c*d*e*(2*p - m + 2) + b^2*e^2
*(p + m + 2) - 2*c^2*d^2*(2*p + 3) - 2*a*c*e^2*(m + 2*p + 3)) - g*(a*e*(b*e - 2*c*d*m + b*e*m) - b*d*(3*c*d -
b*e + 2*c*d*p - b*e*p)) + c*e*(g*(b*d - 2*a*e) - f*(2*c*d - b*e))*(m + 2*p + 4)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, g, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[m] ||
IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

Rule 843

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Dis
t[g/e, Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] + Dist[(e*f - d*g)/e, Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^
2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]
&&  !IGtQ[m, 0]

Rule 718

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Dist[(2*Rt[b^2 - 4*a*c, 2]
*(d + e*x)^m*Sqrt[-((c*(a + b*x + c*x^2))/(b^2 - 4*a*c))])/(c*Sqrt[a + b*x + c*x^2]*((2*c*(d + e*x))/(2*c*d -
b*e - e*Rt[b^2 - 4*a*c, 2]))^m), Subst[Int[(1 + (2*e*Rt[b^2 - 4*a*c, 2]*x^2)/(2*c*d - b*e - e*Rt[b^2 - 4*a*c,
2]))^m/Sqrt[1 - x^2], x], x, Sqrt[(b + Rt[b^2 - 4*a*c, 2] + 2*c*x)/(2*Rt[b^2 - 4*a*c, 2])]], x] /; FreeQ[{a, b
, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0] && EqQ[m^2, 1/4]

Rule 424

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(Sqrt[a]*EllipticE[ArcSin[Rt[-(d/c)
, 2]*x], (b*c)/(a*d)])/(Sqrt[c]*Rt[-(d/c), 2]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] && GtQ[c, 0] && GtQ[
a, 0]

Rule 419

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1*EllipticF[ArcSin[Rt[-(d/c),
2]*x], (b*c)/(a*d)])/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Rt[-(d/c), 2]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] && GtQ[c, 0] &
& GtQ[a, 0] &&  !(NegQ[b/a] && SimplerSqrtQ[-(b/a), -(d/c)])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{b+2 c x}{\sqrt{d+e x} \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}} \, dx &=-\frac{2 \sqrt{d+e x} \left (\left (b^2-4 a c\right ) (c d-b e)-c \left (b^2-4 a c\right ) e x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{2 \int \frac{\frac{1}{2} \left (b^2-4 a c\right ) e (c d-2 b e)-\frac{3}{2} c \left (b^2-4 a c\right ) e^2 x}{\sqrt{d+e x} \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \, dx}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right )}\\ &=-\frac{2 \sqrt{d+e x} \left (\left (b^2-4 a c\right ) (c d-b e)-c \left (b^2-4 a c\right ) e x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{2 e \sqrt{d+e x} \left (3 b^2 c d e-8 a c^2 d e-2 b^3 e^2-b c \left (c d^2-7 a e^2\right )-2 c \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right ) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{4 \int \frac{-\frac{1}{4} c \left (b^2-4 a c\right ) e^2 \left (b c d^2+b^2 d e-8 a c d e+a b e^2\right )-\frac{1}{2} c \left (b^2-4 a c\right ) e^2 \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right ) x}{\sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2}\\ &=-\frac{2 \sqrt{d+e x} \left (\left (b^2-4 a c\right ) (c d-b e)-c \left (b^2-4 a c\right ) e x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{2 e \sqrt{d+e x} \left (3 b^2 c d e-8 a c^2 d e-2 b^3 e^2-b c \left (c d^2-7 a e^2\right )-2 c \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right ) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{(c e (2 c d-b e)) \int \frac{1}{\sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right )}-\frac{\left (2 c e \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right )\right ) \int \frac{\sqrt{d+e x}}{\sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2}\\ &=-\frac{2 \sqrt{d+e x} \left (\left (b^2-4 a c\right ) (c d-b e)-c \left (b^2-4 a c\right ) e x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{2 e \sqrt{d+e x} \left (3 b^2 c d e-8 a c^2 d e-2 b^3 e^2-b c \left (c d^2-7 a e^2\right )-2 c \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right ) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{\left (2 \sqrt{2} e \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right ) \sqrt{d+e x} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{1+\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e x^2}{2 c d-b e-\sqrt{b^2-4 a c} e}}}{\sqrt{1-x^2}} \, dx,x,\frac{\sqrt{\frac{b+\sqrt{b^2-4 a c}+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )}{3 \sqrt{b^2-4 a c} \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-b e-\sqrt{b^2-4 a c} e}} \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{\left (2 \sqrt{2} e (2 c d-b e) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-b e-\sqrt{b^2-4 a c} e}} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2} \sqrt{1+\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e x^2}{2 c d-b e-\sqrt{b^2-4 a c} e}}} \, dx,x,\frac{\sqrt{\frac{b+\sqrt{b^2-4 a c}+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )}{3 \sqrt{b^2-4 a c} \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}\\ &=-\frac{2 \sqrt{d+e x} \left (\left (b^2-4 a c\right ) (c d-b e)-c \left (b^2-4 a c\right ) e x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{2 e \sqrt{d+e x} \left (3 b^2 c d e-8 a c^2 d e-2 b^3 e^2-b c \left (c d^2-7 a e^2\right )-2 c \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right ) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{2 \sqrt{2} e \left (c^2 d^2+b^2 e^2-c e (b d+3 a e)\right ) \sqrt{d+e x} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+\sqrt{b^2-4 a c}+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 \sqrt{b^2-4 a c} \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}} \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{2 \sqrt{2} e (2 c d-b e) \sqrt{\frac{c (d+e x)}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}} \sqrt{-\frac{c \left (a+b x+c x^2\right )}{b^2-4 a c}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{\frac{b+\sqrt{b^2-4 a c}+2 c x}{\sqrt{b^2-4 a c}}}}{\sqrt{2}}\right )|-\frac{2 \sqrt{b^2-4 a c} e}{2 c d-\left (b+\sqrt{b^2-4 a c}\right ) e}\right )}{3 \sqrt{b^2-4 a c} \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \sqrt{d+e x} \sqrt{a+b x+c x^2}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 12.7554, size = 3575, normalized size = 5.38 \[ \text{Result too large to show} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(b + 2*c*x)/(Sqrt[d + e*x]*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)),x]

[Out]

(Sqrt[d + e*x]*(a + b*x + c*x^2)^3*((2*(-(c*d) + b*e + c*e*x))/(3*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^2)
+ (2*(b*c^2*d^2*e - 3*b^2*c*d*e^2 + 8*a*c^2*d*e^2 + 2*b^3*e^3 - 7*a*b*c*e^3 + 2*c^3*d^2*e*x - 2*b*c^2*d*e^2*x
+ 2*b^2*c*e^3*x - 6*a*c^2*e^3*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(-(c*d^2) + b*d*e - a*e^2)^2*(a + b*x + c*x^2))))/(a + x*(
b + c*x))^(5/2) - (2*c*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)*((2*(c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2 - 3*a*c*e^2)*(d + e*x)^(3/2)*(
c + (c*d^2)/(d + e*x)^2 - (b*d*e)/(d + e*x)^2 + (a*e^2)/(d + e*x)^2 - (2*c*d)/(d + e*x) + (b*e)/(d + e*x)))/(c
*Sqrt[((d + e*x)^2*(c*(-1 + d/(d + e*x))^2 + (e*(b - (b*d)/(d + e*x) + (a*e)/(d + e*x)))/(d + e*x)))/e^2]) - (
(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*Sqrt[c + (c*d^2)/(d + e*x)^2 - (b*d*e)/(d + e*x)^2 + (a*e^2)/(d + e*x)^2 - (
2*c*d)/(d + e*x) + (b*e)/(d + e*x)]*((I*c^2*d^2*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 -
b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/(
(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*
e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2
*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])] - EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d
- b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e +
Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])]))/(Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e -
Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)]) - (I*b*
c*d*e*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*
e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*
(d + e*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e
^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])] -
EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt
[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])]))/(Sqrt[2]*(c
*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d
^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)]) + (I*b^2*e^2*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*
e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*
(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*
Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqr
t[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])] - EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^
2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 -
4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])]))/(Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*
e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d
+ b*e)/(d + e*x)]) - ((3*I)*a*c*e^2*(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e
^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e
+ Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d
- b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e +
Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])] - EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt
[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^
2 - 4*a*c*e^2])]))/(Sqrt[2]*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2
- 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)]) + (I*Sqrt[2]*c^2*d*
Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d^2
- b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[-(
(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e
^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])])/(Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sq
rt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)]) - (I*b*c*
e*Sqrt[1 - (2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*Sqrt[1 - (2*(c*d
^2 - b*d*e + a*e^2))/((2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])*(d + e*x))]*EllipticF[I*ArcSinh[(Sqrt[2]*Sqrt[
-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d - b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))])/Sqrt[d + e*x]], (2*c*d - b*e - Sqrt[b^2
*e^2 - 4*a*c*e^2])/(2*c*d - b*e + Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2])])/(Sqrt[2]*Sqrt[-((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(2*c*d
- b*e - Sqrt[b^2*e^2 - 4*a*c*e^2]))]*Sqrt[c + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d + e*x)^2 + (-2*c*d + b*e)/(d + e*x)])
))/(c*Sqrt[((d + e*x)^2*(c*(-1 + d/(d + e*x))^2 + (e*(b - (b*d)/(d + e*x) + (a*e)/(d + e*x)))/(d + e*x)))/e^2]
)))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(a + x*(b + c*x))^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.143, size = 13089, normalized size = 19.7 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((2*c*x+b)/(c*x^2+b*x+a)^(5/2)/(e*x+d)^(1/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{2 \, c x + b}{{\left (c x^{2} + b x + a\right )}^{\frac{5}{2}} \sqrt{e x + d}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((2*c*x+b)/(c*x^2+b*x+a)^(5/2)/(e*x+d)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((2*c*x + b)/((c*x^2 + b*x + a)^(5/2)*sqrt(e*x + d)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\sqrt{c x^{2} + b x + a}{\left (2 \, c x + b\right )} \sqrt{e x + d}}{c^{3} e x^{7} +{\left (c^{3} d + 3 \, b c^{2} e\right )} x^{6} + 3 \,{\left (b c^{2} d +{\left (b^{2} c + a c^{2}\right )} e\right )} x^{5} +{\left (3 \,{\left (b^{2} c + a c^{2}\right )} d +{\left (b^{3} + 6 \, a b c\right )} e\right )} x^{4} + a^{3} d +{\left ({\left (b^{3} + 6 \, a b c\right )} d + 3 \,{\left (a b^{2} + a^{2} c\right )} e\right )} x^{3} + 3 \,{\left (a^{2} b e +{\left (a b^{2} + a^{2} c\right )} d\right )} x^{2} +{\left (3 \, a^{2} b d + a^{3} e\right )} x}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((2*c*x+b)/(c*x^2+b*x+a)^(5/2)/(e*x+d)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sqrt(c*x^2 + b*x + a)*(2*c*x + b)*sqrt(e*x + d)/(c^3*e*x^7 + (c^3*d + 3*b*c^2*e)*x^6 + 3*(b*c^2*d + (
b^2*c + a*c^2)*e)*x^5 + (3*(b^2*c + a*c^2)*d + (b^3 + 6*a*b*c)*e)*x^4 + a^3*d + ((b^3 + 6*a*b*c)*d + 3*(a*b^2
+ a^2*c)*e)*x^3 + 3*(a^2*b*e + (a*b^2 + a^2*c)*d)*x^2 + (3*a^2*b*d + a^3*e)*x), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((2*c*x+b)/(c*x**2+b*x+a)**(5/2)/(e*x+d)**(1/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((2*c*x+b)/(c*x^2+b*x+a)^(5/2)/(e*x+d)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out